مثلث خیام ـ پاسکال، مثلث همه کاره

مثلث خیام را در برخی منابع به ندرت «مثلث خیام – پاسکال – نیوتن» نیز می گویند. این مثلث در زبان های گوناگون نام های دیگری نیز دارد. در زبان انگلیسی «مثلث پاسکال»، در زبان ایتالیایی «مثلث تارتالیا» و در زبان چینی «مثلث یانگ هویی» نام گرفته است.

در آثار متون سانسکریت پینگالا ریاضی دان هندی نشانه هایی از استفاده از این بسط دیده می شود. در همان دوران عمر خیام ریاضی دان ایرانی ادعای کشف روشی جبری برای به دست آوردن ضرایب بسط دوجمله ای می کند. کتاب «مشکلات الحساب»، کتابی که اثبات های این ادعا در آن آمده هنوز کشف نشده ولی در آثار طوسی تاثیر گرفته از او ضرایب را تا توان ۱۲ می توان دید. بعد از خیام در قرن ۱۲ میلادی در آثار یانگ هویی ریاضی دان چینی، شکل مثلث به چشم می خورد. در قرن ۱۶ میلادی ریاضی دان ایتالیایی تارتالیا هم از خود این مثلث را به جا گذاشته و پس از یک قرن پاسکال ریاضی دان فرانسوی هم دوره با نیوتن روی این بسط و مثلث حسابی آن کار کرد.

خلق تصاویر زیبای ریاضی

تصاویر ریاضی

ارتباط بین ریاضیات و هنر به هزاران سال پیش برمی‌گردد، ریاضیات بکار رفته در طراحی کلیساهای گوتیک Gothic، پنجره رز، فرش شرقی، موزاییک و کاشی کاری‌ها. اشکال هندسی، اساس طرح‌های کوبیسم و بسیاری از تجلی‌های انتزاعی بوده و مجسمه سازان برنده جوایز، توپولوژی را به عنوان پایه‌ای اساسی در قطعه خود استفاده کرده‌اند. در آثار هنری هنرمند هلندی M.C. اشر Escher، مفاهیمی شامل نهایت، باند موبیوس، کاشیکاری، تغییر شکل، بازتاب، مواد افلاطونی، مارپیچ، تقارن و صفحه هایپربولیک وجود دارد.
همچنان ریاضیدانان و هنرمندان به خلق آثار خیره کننده در تمام رسانه‌ها و کشف تجسم ریاضیات – اریگامی، تصاویر کامپیوتری، کاشیکاری، فرکتال، هنر آنامورفیک و … ادامه می‌دهند.

مفاهیم ریاضی نشان داده شده در قالب تصاویر، کاری از حمید نادری یگانه را در ادامه ببینید.

---

تصویر فوق شامل ۱۰۰۰ قطعه خط است. برای هر I = 1،۲،۳، …، ۱۰۰۰ نقاط پایانی قطعهi ام است:

(-sin(2πi/1000), -cos(2πi/1000)) and ((-1/2)sin(8πi/1000), (-1/2)cos(12πi/1000))

---

تصویر فوق شامل ۱۰۰۰ قطعه خط است. برای هر I = 1،۲،۳، …، ۱۰۰۰ نقاط پایانی قطعهi ام است:

(-sin(4πi/1000), -cos(2πi/1000)) and ((-1/2)sin(8πi/1000), (-1/2)cos(4πi/1000))

---

تصویر فوق شامل ۱۰۰۰ قطعه خط است. برای هر I = 1،۲،۳، …، ۱۰۰۰ نقاط پایانی قطعهi ام است:

(-sin(8πi/1000), -cos(2πi/1000)) and ((-1/2)sin(6πi/1000), (-1/2)cos(2πi/1000

اعداد کاپرکار

کاپرکار (Dattaraya Ramchandra Kaprekar) ریاضیدان هندی (۱۹۸۶-۱۹۰۵) است که در زمینه نظریه اعداد چند نظریه جالب را بیان کرده است.

عدد کاپرکار به عدد صحیح غیرمنفی گفته می‌شود که مربع آن را بتوان به دو قسمت طوری تقسیم کرد که جمع آن دو قسمت مساوی عدد اصلی شود برای مثال عدد ۴۵ یک عدد کاپرکار است زیرا:

۴۵ = ۲۵ + ۲۰     ،     2025 = 45²

مثال های زیر نمونه هایی از اعداد کاپرکار هستند:

۹ = ۱ + ۸	۸۱ = ۹۲
۴۵ = ۲۵ + ۲۰	۲۰۲۵ = ۴۵۲
۲۹۷ = ۲۰۹ + ۸۸	۸۸۲۰۹ = ۲۹۷۲
۷۰۳ = ۲۰۹ + ۴۹۴	۴۹۴۲۰۹ = ۷۰۳۲
۹۹۹ = ۰۰۱ + ۹۹۸	۹۹۸۰۰۱ = ۹۹۹۲
۲۷۲۸ = ۱۹۸۴ + ۷۴۴	۷۴۴۱۹۸۴ = ۲۷۲۸۲
۴۸۷۹ = ۰۴۶۴۱ + ۲۳۸	۲۳۸۰۴۶۴۱ = ۴۸۷۹۲
۵۲۹۲ = ۰۰۵۲۶۴ + ۲۸	۲۸۰۰۵۲۶۴ = ۵۲۹۲۲
۱۷۳۴۴ = ۱۴۳۳۶ + ۳۰۰۸	۳۰۰۸۱۴۳۳۶ = ۱۷۳۴۴۲
۵۳۸۴۶۱ = ۲۴۸۵۲۱ + ۲۸۹۹۴۰	۲۸۹۹۴۰۲۴۸۵۲۱ = ۵۳۸۴۶۱۲
…	…

 به عبارت دیگر برای هر عدد کاپریکار n رقمی که k >= 1 زوج معادلات زیر برقرار است:

 K = q+r

  K² =  q * 10ⁿ + r

 به نحوی که:

q >= 1 

 10ⁿ > r >= 0

روند جالب محاسبات ریاضی

روند جالب محاسبات ریاضی

ریاضی دانان هندی علاقه ی زیادی به کشف روابط ذاتی بین اعداد دارند و برای انجام محاسبات ریاضی راه حل های میان بر و سریع تری می یابند که نیازمند به انجام اعمال ریاضی طبق روال معمول نیست. این گونه محاسبات سریع در کشور هندوستان به ریاضیات ودیک معروف است و با فراگیری این نوع محاسبات ساده به راحتی می توان ماشین حساب را کنار گذاشت و بسیاری از محاسبات را بطور ذهنی انجام داد. یک نمونه از این موارد کشف روابط ریاضی بین جمع مکعب اعداد زیر است که همواره بر اساس دوره تناوب ایجاد شده صادق است.

داغ سقای تشنگان کمر حسین (ع) را شکست

امام حسین (ع) با کمر خمیده به عباس نگریست و سپس در بالین او نشست و گریه کرد تا عباس به شهادت رسید. نقل شده‌ با صداى بلند گریه کرد و فرمود: «الان انکسر ظهرى و قلت‏ حیلتى و شمت بى عدوى‏ / کنون پشتم شکست‌ و رشته تدبیر و چاره‏‌ام از هم پاشید، و دشمن بر من چیره شد و شماتت کرد».

التماس دعا .................................