نکات آموزشی فصل شمارنده ها

تجزیه ی عدد به حاصل ضرب عوامل اول

مجموعه ی اعداد طبیعی عبارت است از : { ... ، 4 ، 3 ، 2 ، 1 } = IN

هر عدد طبیعی به غیر از 1 یا اول است یا مرکب.

        نکته : عدد 1 نه اول است و نه مرکب.

تعریف عدد اول : هر عدد طبیعی بزرگ تر از 1 که غیر از 1 و خودش شمارنده دیگری نداشته باشد اول است.

مثل : 2 و 3 و 5 و ۷ و ...

        { 17 ، 1 } = مجموعه ی مقسوم علیه های 17

تعریف عدد مرکب : هر عدد طبیعی بزگ تر از 1 که بیش از دو شمارنده داشته باشد مرکب است.

به بیان دیگر هر عدد طبیعی بزرگ تر از 1 که بتوان آن را به صورت حاصل ضرب دو عدد طبیعی بزرگ تر از 1 نوشت، عدد مرکب است.

مثل : 4 و 6 و 8 و ...

       مثال :

         هر یک از اعداد 2 و 3 و 4 و 6 و 9 و 12 و 18 مقسوم علیه 36 می باشند.

خلاصه :

هر عدد مرکب را می توان تجزیه کرد. یعنی آن را به صورت حاصل ضرب عوامل اول نوشت.

مثال : عدد 18 را تجزیه کنید.

برای تجزیه ی 18 آن را به ترتیب بر اعداد اولی که بر آن ها بخش پذیر است تقسیم می کنیم و با خارج قسمت نیز همین کار را انجام می دهیم.

کاربردهای تجزیه :

1 - تعیین تعداد مقسوم علیه های طبیعی یک عدد.

اگر عدد A به شکل زیر تجزیه شده باشد. ( که در آن ها P ها اعداد اول و a ها اعداد طبیعی هستند. )

مثال : عدد ۱۲۰  دارای چند مقسوم علیه طبیعی است؟

جواب :

2- تعیین بزرگ ترین مقسوم علیه مشترک ( ب.م.م ) دو عدد.

ابتدا دو عدد را به حاصل ضرب عوامل اول تجزیه می کنیم سپس حاصل ضرب عوامل مشترک با کمترین توان را می نویسیم.

مثال : ب.م.م دو عدد A و B را تعیین کنید.

3- تعیین کوچک ترین مضرب مشترک ( ک.م.م ) دو عدد.

ابتدا دو عدد را به حاصل ضرب عوامل اول تجزیه می کنیم سپس حاصل ضرب عوامل مشترک با بیشترین توان و عوامل غیر مشترک را می نویسیم.

مثال : ک.م.م دو عدد A و B را تعیین کنید.

مجموعه ی سوالات

۱- اگر عدد A دارای ۲ مقسوم علیه اول و ۱۵ مقسوم علیه باشد، A^۲ دارای چند مقسوم علیه است؟

2- عدد ۱۲^۴ × ۱۶^۳ چند مقسوم علیه اول دارد؟

۳- عدد ۱۶^۵ چند مقسوم علیه مثبت دارد؟

۴- اگر X دارای ۳ مقسوم علیه اول باشد عدد X^۳ چند مقسوم علیه اول دارد؟

۵- اگر ۹^۳ × ۴^۲ = M و ۲۷^۲ × ۱۶ = N باشد. MN چند مقسوم علیه مثبت دارد؟

6- کوچک ترین عدد طبیعی به صورت ۴^b × ۳^a که ۱۵ مقسوم علیه مثبت دارد چیست؟

۷- اگر p یک عدد اول باشد. تعداد مقسوم علیه های عدد p^۱۳۸۹ چند تا است؟

۸- عدد ۹ⁿ × ۴۸ چهل مقسوم علیه مثبت دارد. n چه عددی است؟

۹- تعداد مقسوم علیه های عدد ۱۰ × ... × ۳ × ۲ × ۱ چند تا است؟

۱۰- بزرگ ترین مقسوم علیه مشترک اعداد ۴۲ و ۱۶۲ و ۷۲ را پیدا کنید.