تعریف شمارنده:یک عدد رامی توان شمارنده عدد دیگر درنظر گرفت،هروقت عددمابرآن بخش پذیرباشد.مثال:عدد15شمارنده30و45است.
رامی شمارد.مثال:2شمارندهcهمAرابشماردc,bابشمارد رA,bهرگاه
8است،8هم شمارنده 40است بنابراین 2شمارنده 40است.به این خاصیت تعدی می گویند.
تعریف اعداداول:اعدادی که فقط برخودشان و1بخش پذیرهستند.مانند:2-3-5-7-11-13و...
تعریف اعداد مرکب:هرعددی راکه بتوان به صورت ضرب دوعددطبیعی دیگرنوشت را اعدادمرکب می گویند.مانند:
20 ؛ 45
قاعده بخش پذیری بر2:یکان بایدزوج باشد.
قاعده بخش پذیری بر5:یکان باید0یا5باشد.
قاعده بخش پذیری بر6:هم بر2وهم بر3بخش پذرباشد.
قاعده بخش پذیری بر10:یکان باید0 باشد.
قاعده بخش پذیری بر11:جمع یکان وصدگان بادهگان مساوی باشد.
قاعده بخش پذیری بر15:هم بر3وهم بر5بخش پذیرباشد.
به وسیله اعداد اول همه اعداد تولیدمی شود.
عددهایی که باعددهای اول تولیدمیشوند، اعداداول تشکیل دهنده آنها شمارنده های اول انها هستند.مانند:2و5شمارنده های اول 10و20و40هستند.
کسرمرکب:کسری که درصورت ومخرج ان بیشترازیک عدد داریم وبرای ساده کردن،یک عدد درصورت ویک عدد درمخرج انتخاب کرده وبعدساده کرد .
مانند:
49 32
21 48
بهترین روش برای ساده کردن یک کسرپیداکردن بزرگ ترین شمارنده های مشترک صورت ومخرج است.
2 16 32
3 16 48
اگرصورت ومخرج کسری رادر عدد دلخواه ضرب یاتقسیم کنیم کسر حاصل مساوی کسراول است. 24 12 4
30 15 5 باتجزیه یک عدد می توان شمارنده های مختلف انرابدست آورد.باضرب انتخابی مانند: 90 2 3 3 5
(انتخابی 18 3 3 2 ،15 5 3 )
پیداکردن مقسوم علیه های یک عدد دریک محدوده مشخص مانند:مقسوم علیه 24بیشتراز5وکمتراز 20 باشد.
تعداد شمارنده های عددهای خاص شبیه یکدیگراست.ماننداعداد کامل (4-9-16-25و...)تعداد مقسوم علیه هایش فرد است.
مجموع دو عدداول ممکن است اول باشدمانند:5=3+2
برای پیدا کردن شمارنده های اول یک عدد از نمودار درختی استفاده می کنیم
20
10 2
5 2
تعریف شمارنده اول هر عدد را می توان به وسیله شمارندههای اول تولید کرد مانند:
2*2*5=20 2*5*3=30
شمارنده اول هر عدد اول خودش است مانند:7 و 13
با تجزیه عددها به عامل های و حاصل ضرب قسمت های مشترک آن ب.م.م به دست می آید
2*3*5*5*2=300 90=2*3*3*5 (300-90)
30=5*3*2 ب.م.م
1هرگاه1=(a , b) یعنی دو عدد نسبت به هم اول هستندیعنی مقسوم علیه مشترکی ندارند(شمارنده مشترکشان 1 است)
اگر یک عدد اول باشد(ب.م.م)آن با یکی دیگر می شود خودش یا یک .مثال 10 و2 میشود 2؛ و15و2میشود1برای پیدا کردن مضرب های صحیح یک عدد آن را در اعداد صحیح ضرب می کنیم مانند مضرب های صحیح
مضرب صحیح 3 {..؛9؛6؛3؛0؛3-؛6-؛9-؛...}3
منظور از مضرب های یک عدد مضرب های طبیعی آن عدد می باشد مانند مضرب 3
3>>>...15؛12؛9؛6؛3
نکته مهم برای پیدا کردن [ک.م.م] دو عدد می شود کوچکترین مضرب مشترک
شمارنده های اول مشترک و غیر مشترک آن ها را در هم ضرب می کنیم (مشترک تعداد بیشتر )را می نویسیم.
20 و30 5*3*2=30 5*2*2=20 ک.م.م 3 *5*2*2=60
مهمترین کاربرد[ ک.م.م ] پیدا کردن مخرج مشترک کسر هاست:مثال
47 33 14 11 7
60 60 20 30
هر گاه دو عدد اول باشند[ک.م.م ] آن ها می شود حاصل ضرب آنها
هر گاه دو عدد بر هم بخش پذیر باشند عدد بزرگتر را[ک.م.م ]و عدد کوچکتر را (ب.م.م) می نامیم.
(ب.م.م.) شمارنده [ک.م.م] است.
کوچکترین عددی که شمارنده 3 و 6و 5 باشد مینویسیم.
این روش برای تعیین اعداد اول بکار میرود به این ترتیب که برای نمونه اگر بخواهیم اعداد اول 1تا 100 را تعیین کنیم به این شکل عمل میکنیم@@عدد 1 را که نه اول است و نه مرکب حذف میکنیم₩₩₩بجز 2 تمام عددهای زوج حذف شوند₩₩₩بجز 3 همه عددهایی که بر 3 بخشپذیر هستند حذف شوند₩₩₩بجز 5 همه اعداد بخشپذیر بر 5 حذف شوند₩₩₩بجز 7 همه عددهای بخش پذیر بر 7 حذف شوند₩₩₩₩₩₩₩₩₩در پایان مشاهده میکنید اعدادی را که قاعده بخشپذیری 2؛3؛5؛7 در مورد هیچکدام صدق نمیکند و خط نمیخورند پس میگوییم این اعداد اول هستند
عددهای باقی مانده2؛3؛5؛7؛11؛13؛17؛19؛23؛29؛31؛37؛41؛43؛47؛53؛59؛61؛67؛71؛73؛ و...خواهند بود@@@@این روش را هم میتوانید در مورد سوالات زیر بکار بگیرید₩₩₩₩اعداد اول بین مثلا 80تا90 را تعیین کنید ₩₩₩بین 70تا 85 چند عدد اول وجود دارد₩₩₩البته و در کل اگر عدد مورد نظر از مجذور عدد اول بعدی بزرگتر باشد باید به سراغ عدد اول (بعدی)هم برویم مثلا 11×11=121 است پس اگر از 121 بئشتر باشد باید بخشپذیری 11 را هم اعمال کنیم ویا 13×13=169 پس اگر از 169 گذشتیم ؛بخشپذیری 13 را هم در نظر بگیریم الی آخر
برای تشخیص اول یا مرکب بودن یک عدد باید بخش پذیری آن را بر عددهای2؛3؛5؛7؛بررسی کنیم که دو حالت اتفاق خواهد افتاد یا عدد مورد نظر بر هیچ کدام بخش پذیر نخواهد شد که میگوییم اول است اما چنانچه بر یکی از آنها(2_3_5_7) بخشپذیر شد مرکب خواهد بود
@عدد یک نه اول و نه مرکب است
@@هر عدد اول تنها دو شمارنده دارد 1 و خودش
@تنها عدد زوج اول عدد 2 می باشد.
@@@برای به دست آوردن (ب.م.م) و [ک.م.م] اعداد ابتدا شمارنده های اول انها را مشخص میکنیم سپس برای (ب.م.م)شمارنده های اول تکراری با ¥کمترین¥ تکرار و برای [ک.م.م]شمارنده های تکراری با ¥بیشترین ¥تکرار و ¥غیر تکراری ها را در هم ضرب میکنیم
@@ عدد یک کوچک ترین شمارنده هر عدد است
@@@بزرگترین شمارنده هر عدد خودش است@@ کوچکترین مضرب هر عدد خودش است
@@بزرگترین مضرب هر عدد قابل تعیین نیست
@@(ب.م.م) دو عدد اول همیشه یک و [ک .م.م]آنها حاصل ضربشان است مانند (5و7)=1 و[۵و۷]=۳۵ میباشد
@@اگر عدد بزرگتر بر کوچکتر بخش پذیر باشد ؛ (ب.م.م)عدد کوچکتر و [ک.م.م]عدد بزرگتر خواهد بودمانند(30و15)=15 و [30و15]=30#
#######اگر (ب.م.م) دو عدد یک باشد آنها را متباین (نسبت به هم اول )می گویند مانند (14 و 15)=1 یا (7 و 10)=1
@@شمارنده های یک عدد محدود هستند اما مضربهای یک عدد پایان ندارند@@مانند شمارنده های9:که عبارتند از 9؛3؛1 اما مضربهای 9 عددهای 9؛18؛27؛36؛...هستند
@@برای ساده کردن کسر ها ابتدا شمارنده های اول صورت ومخرج را تعیین سپس هرکدام از آنهایی که در صورت و مخرج تکراری باشند ساده میشوند@@@
روش اول: اگرمخرج بزرگتربه مخرج کوچک بخش پذیربود،مخرج بزرگ رابه عنوان مناسب ترین مخرج می گیریم.مانند 16 و 8 که 16 بر 8 بخش پذیر است
روش دوم:اگر وجه مشترکی نداشتند(متوالی یا اول ) بودند ،مخرجهارادرهم ضرب می کنیم.مثل 8 و 9 مخرج مشترکشان 72 و یا 7 و3 که اول هستند و مخرج مشترکشان 21 است
روش سوم: نوشتن کسرهای مساوی.یا مضرب نویسی مانند مخرج مشترک 12 و 8 ::مضرب های 8:8 ؛ 16 ؛ 24 ؛ 32 ؛ ...و مضرب های 12 که 12 ؛ 24 ؛ 36 و...هستند آنگاه 24 مخرج مشترک خواهد بود
روش چهارم: مخرج بزرگ را 2برابر کرده بر مخرج دیگرتقسیم می کنیم اگر باقیمانده صفرشد،آن را انتخاب می کنیم؛اگر باقی مانده آورد3برابرو... می کنیم و بعد تقسیم می کنیم تا جایی که باقی مانده صفر شود.
روش پنجم:بزرگترین عددی که آن دو مخرج برآن بخش پذیرندرا پیدا می کنیم سپس مخرج هارابه صورت حاصل ضرب دوعددمی نویسیم بعد یکی ازعددهای مشترک را حذف می کنیم.